Теоремы это свойства и противопоказания

Теорема Пифагора имеет не менее 370 известных доказательств[1]

В математике теорема — это утверждение, которое было доказано на основе ранее установленных утверждений: других теорем и общепринятых утверждений, аксиом[источник не указан 178 дней]. Другими словами, теорема – это математическое утверждение, истинность которого установлена путём доказательства[2]. Теорема является логическим следствием аксиом. Доказательство математической теоремы является логическим аргументом для утверждения теоремы, приведенного в соответствии с правилами формальной системы. Доказательство теоремы часто интерпретируется как обоснование истинности утверждения теоремы. В свете требования, чтобы теоремы были доказаны, концепция теоремы является принципиально дедуктивной, в отличие от понятия научного закона, который является экспериментальным[3].

Многие математические теоремы являются условными утверждениями. В этом случае доказательство выводит заключение из условий, называемых гипотезами или предпосылками. В свете интерпретации доказательства как оправдания истины, заключение часто рассматривается как необходимое следствие гипотез, а именно, что заключение верно в случае, если гипотезы верны, без каких-либо дополнительных предположений. Тем не менее, условия могут интерпретироваться по-разному в некоторых дедуктивных системах, в зависимости от значений, присвоенных правилам вывода и символа условия.

Хотя теоремы могут быть написаны в полностью символической форме, например, с помощью исчисления высказываний, они часто выражаются на естественном языке (английском, русском, французском и др.). То же верно и для доказательств, которые часто выражаются в виде логически организованной и четко сформулированной цепи неформальных аргументов, предназначенных для того, чтобы убедить читателей в истинности формулировки теоремы, из каковой цепи в принципе можно построить формальное символическое доказательство. Такие аргументы, как правило, легче проверить, чем чисто символические, и, на самом деле, многие математики отдают предпочтение доказательству, которое не только демонстрирует справедливость теоремы, но и каким-то образом объясняет, почему она, очевидно, верна. В некоторых случаях одной картины достаточно для доказательства теоремы.

Поскольку теоремы лежат в основе математики, они также играют центральную роль в её эстетике. Теоремы часто описываются как «тривиальные», «сложные», «глубокие» или даже «красивые». Эти субъективные суждения варьируются не только от человека к человеку, но и со временем: например, когда доказательство упрощено или лучше понято, теорема, которая когда-то была трудной, может стать тривиальной. С другой стороны, глубокая теорема может быть сформулирована просто, но её доказательство может включать в себя удивительные и тонкие связи между различными областями математики. Особенно известным примером такой теоремы является Великая теорема Ферма.

Неформальное изложение теорем[править | править код]

С точки зрения логики, многие теоремы имеют форму условного обозначения : если A, то B. Такая теорема утверждает не истинность B, а только то, что B является необходимым следствием A. В этом случае A называется логической гипотезой теоремы, а B — выводом (формально A и B называются предшествующим и последующим утверждениями). Следует подчеркнуть, что логическая гипотеза и математическая гипотеза — суть разные понятия. Так, утверждение «Если n — чётное натуральное число, то n / 2 — натуральное число» — пример теоремы, в которой гипотезой является утверждение «n — чётное натуральное число», а утверждение «n / 2 — также натуральное число» является выводом.

Для доказательства теорема должна быть выражена в виде точного формального утверждения. Тем не менее, для удобства читателя теоремы обычно выражаются не в полностью символической форме, а на естественном языке. Читатель же самостоятельно преобразует неформальное утверждение в формальное.

В математике часто выбирают несколько гипотез и создают теорию, которая состоит из всех утверждений, логически вытекающих из этих гипотез. Гипотезы, которые составляют основу теории, называются аксиомами или постулатами. Область математики, изучающая формальные языки, аксиомы и структуру доказательств, называется теорией доказательств.

Планарная карта с пятью цветами, так что нет двух областей с одинаковым цветом. Это может быть окрашено таким образом только с четырьмя цветами. Теорема о четырёх цветах утверждает, что такие раскраски возможны для любой плоской карты, но каждое известное доказательство включает в себя вычислительный поиск, который слишком длинный, чтобы проверить его вручную.

Некоторые теоремы являются «тривиальными» в том смысле, что они очевидным образом следуют из определений, аксиом и других теорем и не содержат никаких удивительных идей. С другой стороны, некоторые теоремы могут быть названы «глубокими», потому что их доказательства могут быть длинными и трудными, включать области математики, внешне отличные от формулировки самой теоремы, или демонстрировать удивительные связи между различными областями математики. Теорема может быть простой в изложении и в то же время глубокой. Прекрасным примером глубокой теоремы является Великая теорема Ферма. В теории чисел и в комбинаторике, а также в других областях математики имеется множество примеров простых в изложении, но глубоких теорем.

С другой стороны, есть теоремы, имеющие доказательство, которое невозможно записать в простом виде. Наиболее яркими примерами таких теорем являются теорема о четырех цветах и гипотеза Кеплера. Обе эти теоремы известны тем, что они сводятся к определённому алгоритму, который затем проверяется компьютерной программой. Первоначально многие математики не принимали эту форму доказательства, но сейчас она стала разрешённой. Математик Дорон Цейлбергер даже утверждает, что это, пожалуй, единственные нетривиальные результаты, которые когда-либо были доказаны математиками[4]. Многие математические теоремы могут быть сведены к более простым вычислениям, включая полиномиальные тождества, тригонометрические тождества и гипергеометрические тождества[5].

Обеспечиваемость и теорема[править | править код]

Чтобы установить математическое утверждение в качестве теоремы, требуется доказательство, то есть должна быть продемонстрирована линия рассуждений от аксиом в системе (и других уже установленных теорем) к данному утверждению. Однако доказательство обычно рассматривается отдельно от утверждения теоремы. Хотя для одной теоремы может быть известно более одного доказательства, для установления статуса утверждения как теоремы требуется только одно доказательство. Теорема Пифагора и закон квадратичной взаимности являются претендентами на название теоремы с наибольшим количеством различных доказательств.

Связь с научными теориями[править | править код]

Теоремы в математике и теории в науке принципиально отличаются по своей эпистемологии . Научная теория не может быть доказана; её ключевой атрибут заключается в том, что он фальсифицируется, то есть он делает предсказания о мире природы, которые можно проверить экспериментально . Любое несоответствие между предсказанием и экспериментом демонстрирует неверность научной теории или, по крайней мере, ограничивает её точность или область действия. Математические теоремы, с другой стороны, являются чисто абстрактными формальными утверждениями: доказательство теоремы не может включать эксперименты или другие эмпирические доказательства так же, как эти доказательства используются для поддержки научных теорий.

Гипотеза Коллатца : один из способов проиллюстрировать её сложность — расширить итерацию от натуральных чисел до комплексных чисел. Результатом является фрактал, который (в соответствии с универсальностью) напоминает множество Мандельброта .

Тем не менее, существует определенная степень эмпиризма и сбора данных, связанных с открытием математических теорем. Устанавливая модель, иногда с использованием мощного компьютера, математики могут иметь представление о том, что доказывать, а в некоторых случаях даже о том, как приступить к выполнению доказательства. Например, гипотеза Коллатца была проверена для начальных значений примерно до 2,88 × 10 18 . Гипотеза Римана была проверена для первых 10 триллионов нулей дзета-функции . Ни одно из этих утверждений не считается доказанным.

Такие свидетельства не являются доказательством. Например, гипотеза Мертенса[en] — это некоторое неверное утверждение о натуральных числах, однако явный контпример неизвестен. Известно только, что наименьший контрпример не меньше 10 14 и не больше 104,3 × 1039. Найти явный контрпример с помощью полного перебора невозможно, однако известно, что он существует.

Слово «теория» также существует в математике для обозначения совокупности математических аксиом, определений и теорем, как, например, теория групп. Есть также «теоремы» в науке, особенно в физике, и в технике, но они часто имеют утверждения и доказательства, в которых физические предположения и интуиция играют важную роль; физические аксиомы, на которых основаны такие «теоремы», сами по себе фальсифицируемы.

Терминология[править | править код]

Существует ряд различных терминов для математических утверждений; эти термины указывают на роль, которую заявления играют в конкретной теме. Несоответствие между различными терминами иногда довольно произвольно, и со временем некоторые термины стали использоваться чаще других.

Аксиома или постулат — это утверждение, которое принимается без доказательств и считается фундаментальным для субъекта. Исторически аксиомы считались «само собой разумеющимися», но в последнее время они считаются предположениями, которые характеризуют предмет исследования. В классической геометрии аксиомы являются общими утверждениями, а постулаты — утверждениями о свойствах геометрических объектов[6]. Определение также принимается без доказательств, поскольку оно просто даёт значение слова или фразы в терминах известных понятий.

Непроверенное утверждение, которое считается верным, называется гипотезой. Чтобы считаться гипотезой, заявление обычно должно предлагаться публично, и в этот момент к предположению может быть присоединено имя инициатора, как и в случае с гипотезой Гольдбаха . Другие известные примеры гипотез: гипотеза Коллатца и гипотеза Римана. С другой стороны, великая теорема Ферма всегда была известна под этим именем, даже до того, как она была доказана; её никогда не называли «гипотезой Ферма».
Предложение — теорема меньшей важности. Этот термин иногда означает утверждение с простым доказательством, в то время как термин теорема обычно зарезервирован для наиболее важных результатов или результатов с длинными или трудными доказательствами. Некоторые авторы никогда не используют термин «предложение», а другие используют термин «теорема» только для фундаментальных результатов. В классической геометрии этот термин использовался по-разному: в «Началах» Евклида (ок. 300 г. до н. э.) все теоремы и геометрические конструкции назывались «суждениями» независимо от их важности.
Лемма — это «вспомогательная теорема», предложение с малой применимостью, которое однако является частью доказательства большей теоремы. В некоторых случаях, когда относительная важность различных теорем становится более ясной, то, что когда-то считалось леммой, начинает считаться теоремой, хотя слово «лемма» остается в её названии. В качестве примеров можно привести лемму Гаусса, лемму Цорна и фундаментальную лемму (англ.).
Следствием является утверждение, которое следует с небольшим доказательством из другой теоремы или определения[7]. Также следствием может быть теорема, переформулированная для более ограниченного частного случая. Например, теорема о том, что все углы в прямоугольнике являются прямыми углами, имеет следствие того, что все углы в квадрате (частный случай прямоугольника) являются прямыми углами .
Обратное утверждение теоремы — это утверждение, образованное переменой того, что в теореме дано, и того, что должно быть доказано. Например, теорема о равнобедренном треугольнике гласит, что если две стороны треугольника равны, то два угла равны. Поменяв местами то, что дано (две стороны равны), и то, что должно быть доказано (два угла равны), получаем обратное утверждение: если два угла треугольника равны, то и две стороны равны. В этом примере обратное утверждение может быть доказано как ещё одна теорема, но зачастую это не так. Например, обратным утверждением к теореме о том, что два прямых угла равны, является утверждение, что два равных угла должны быть прямыми, но это явно не всегда так[8].
Обобщением называется теорема, которая включает ранее доказанную теорему как частный случай, а значит, как следствие.

Существуют и другие, реже используемые термины, которые обычно присоединяются к доказанным утверждениям, поэтому некоторые теоремы упоминаются под историческими или общепринятыми названиями. Например:

Тождество — это теорема о равенстве между двумя математическими выражениями, которое верно всегда независимо от того, какие значения используются для любых переменных или параметров, фигурирующих в выражениях. Примерами являются формула Эйлера и тождество Вандермонда .
Правило — это теорема, которая устанавливает полезную формулу. Например, правило Байеса и правило Крамера.
Закон или принцип — это теорема, которая применяется в широком диапазоне обстоятельств. Примерами можно считать закон больших чисел, теорему косинусов, закон Колмогорова «ноль — один», принцип Гарнака, свойство наименьшей верхней границы (англ.) и принцип Дирихле[9].

Несколько известных теорем имеют ещё более своеобразные названия. Алгоритм деления (см. Деление с остатком) — это теорема, выражающая результат деления на натуральные числа и более общие кольца. Соотношение Безу — это теорема, утверждающая, что наибольший общий делитель двух чисел может быть записан как линейная комбинация этих чисел. Парадокс Банаха — Тарского — это теорема в теории меры, которая парадоксальна в том смысле, что она противоречит распространённым представлениям о объёме в трёхмерном пространстве.

Раскладка теоремы[править | править код]

Теорема и её доказательство обычно выкладываются следующим образом:

Теорема и имя человека, который доказал её, и год открытия, доказательства или публикации.
Утверждение теоремы (иногда называемое суждением ).
Доказательство
Описание доказательства.
Конец.

Конец доказательства может быть обозначен буквами QED (quod erat manifrand) или одним из надгробных знаков «□» или «∎», означающим «Конец доказательства», введённым Полом Халмосом после их использования в журнальных статьях.

Точный стиль зависит от автора или публикации. Многие публикации предоставляют инструкции или макрокоманды для набора текста в стилистическом справочнике.

Обычно теореме предшествуют определения, описывающие точное значение терминов, используемых в теореме. Также изложение теоремы предваряет ряд предложений или лемм, которые затем используются в доказательстве. Однако леммы иногда включаются в доказательство теоремы либо с вложенными доказательствами, либо с их доказательствами, представленными после доказательства теоремы.

Следствия из теоремы представлены либо между теоремой и доказательством, либо непосредственно после доказательства. Иногда следствия имеют свои собственные доказательства, которые объясняют, почему они следуют из теоремы.

Интересные факты[править | править код]

Подсчитано, что ежегодно доказывается более четверти миллиона теорем[10].

Хорошо известный афоризм «математик — это устройство для превращения кофе в теоремы» часто приписывают выдающемуся математику Палу Эрдёшу, который был знаменит доказательством большого количества теорем, числом Эрдёша, характеризующем количество его возможных соавторов и огромным количеством выпиваемого им кофе[11]. Однако это высказывание принадлежит коллеге Эрдёша, Альфреду Реньи (хотя Реньи, произнося эту фразу, скорее всего имел в виду Эрдёша).

Классификация простых конечных групп рассматривается некоторыми математиками как самое длинное доказательство теоремы. Её произвели около 100 авторов в 500 журнальных статьях, занимающих в общей сложности десяток тысяч страниц. Считается, что эти публикации вместе дают полное доказательство, и многие математики надеются сократить и упростить это доказательство[12]. Другая теорема этого типа — проблема четырех красок, чьё компьютерное доказательство слишком длинное, чтобы человек мог его прочитать. Это, безусловно, самое длинное из известных доказательств теоремы, утверждение которых легко понять непрофессионалу.

См. также[править | править код]

Теория
Тезис
Вывод
Противоположная теорема
Обратная теорема

Примечания[править | править код]

↑ Elisha Scott Loomis. The Pythagorean proposition: its demonstrations analyzed and classified, and bibliography of sources for data of the four kinds of proofs. Education Resources Information Center. Institute of Education Sciences (IES) of the U.S. Department of Education. Дата обращения 26 сентября 2010.
↑ Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю.В. Прохоров. — Москва: «Советская Энциклопедия», 1988. — С. 580. — 847 с.
↑ However, both theorems and scientific law are the result of investigations. See Heath, 1897 Introduction, The terminology of Archimedes, p. clxxxii: «theorem (θεώρημα) from θεωρεῖν to investigate»
↑ Doron Zeilberger. Opinion 51.
↑ Петковсек и соавт. 1996.
↑ Wentworth, G.; Smith, D.E. Art. 46, 47 // Plane Geometry (неопр.). — Ginn & Co., 1913.
↑ Wentworth & Smith Art. 51
↑ Следует Wentworth & Smith Art. 79
↑ Слово закон также может относиться к аксиоме, правилу вывода или, в теории вероятности, распределению вероятности .
↑ Hoffman 1998, p. 204.
↑ Hoffman 1998, p. 7.
↑ Огромная теорема: классификация конечных простых групп, Richard Elwes, Plus Magazine, Issue 41 December 2006.

Источник

ГЛАВА 1

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБУЧЕНИЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ ТЕОРЕМ.

ПОНЯТИЕ ТЕОРЕМЫ. ОСНОВНЫЕ ВИДЫ ТЕОРЕМ И ИХ СТРУКТУРА

Структуру отдельных мыслей и способы их сочетаний называют формами мышления. С точки зрения формальной логики мышление характеризуется тремя основными формами: понятиями, суждениями, умозаключениями.

Примеры понятий:

1. Треугольник — это фигура, состоящая из трех отрезков, попарно соединяющих три точки, не лежащие на одной прямой.

2. Арифметическим квадратным корнем из числа Q называется неотрицательное число, квадрат которого равен Q.

Примеры суждений:

1. Каждая прямая разделяет плоскость на две полуплоскости; любые две точки одной и той же полуплоскости лежат по одну сторону от этой прямой, а любые две точки разных полуплоскостей лежат по разные стороны от нее.

2. Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.

Примеры умозаключений:

1. Если a>b, b>c то а>с.

2. Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.

Следует заметить, что на вопрос «Чем являются те или иные утверждения: теоремами, аксиомами или определениями?» нельзя ответить однозначно вне контекста какого-нибудь курса математики. Так, например, утверждение «Через точку вне прямой можно провести единственную прямую, параллельную данной прямой» в одном курсе геометрии может быть аксиомой, в другом — теоремой. Возможен, например, вариант, когда в каком-либо курсе геометрии за аксиому принято утверждение, называемое в нашем школьном курсе геометрии теоремой Пифагора.

Перейдем к рассмотрению понятия теоремы, ее структуры и видов теорем.

Математическое предложение, истинность которого устанавливается посредством доказательства, называют теоремой.

Название «теорема» происходит от греческого слова θεώρημα — представление, зрелище (так как в древности часто теоремы доказывались публично, на площадях, и они носили характер спора, диспута).

В школьном курсе математики для словесной формулировки теоремы используются три формы суждения:

1) Категорическая.

Пример 1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Пример 2. Постоянный множитель можно вынести за знак производной: (cf(x))’ = cf'(x).

2) Условная.

Пример 1. Если в треугольнике два угла равны, то треугольник равнобедренный.

Пример 2. Если F'(x)=0 на некотором промежутке, то на этом промежутке F(x) = C, где С — постоянная.

3) Разделительная.

Пример 1. Плоскость и не лежащая на ней прямая либо не пересекаются, либо пересекаются в одной точке.

Пример 2. При параллельном переносе в пространстве каждая плоскость переходит либо в себя, либо в параллельную ей плоскость.

Теоремы категорической и разделительной форм можно переформулировать, используя словосочетание «если… то…», т. е. обратить ее формулировку в условную. Пусть, например, дана теорема: «В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны». В условной форме формулировка этой теоремы будет выглядеть так: «Если четырехугольник является ромбом, то его диагонали взаимно перпендикулярны».

Заметим, что разбор структуры теоремы более доступен для учащихся в том случае, когда она сформулирована в условной форме.

Условная форма теоремы может быть эффективно использована и для того, чтобы дать ответ на вопрос: «О свойстве или о признаке идет речь в теореме?» На этот вопрос легко ответить, если теорему сформулировать в условной форме. Если окажется, что рассматриваемое понятие находится в условии теоремы, то теорема выражает свойство этого понятия, если же понятие находится в заключении теоремы, то она выражает признак. Покажем это на примерах.

1. Теорема Пифагора: «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов». Переформулировав теорему из категоричной формы в условную, будем иметь: «Если треугольник прямоугольный, то квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов». Поскольку понятие «прямоугольный треугольник» находится в условии теоремы, то она выражает собой свойство этого понятия.

2. Теорема: «В равнобедренном треугольнике углы при основании равны».

Сформулируем теорему в условной форме. Будем иметь: «Если треугольник равнобедренный, то углы при основании равны». Поскольку понятие «равнобедренный треугольник» находится в условии, то эта теорема выражает свойство объекта.

3. Теорема: «Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны».

Понятие « параллельные прямые » находится в заключении теоремы, а значит, это теорема-признак.

4. Теорема: «Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны».

Это теорема-признак, ибо понятие «подобные треугольники» находится в заключении теоремы.

Рассмотрим в связи с этим еще один пример.

Теорема: «Если трапеция равнобокая, то:

1) углы при одном и том же основании равны;

2) высоты, проведенные из концов одного основания на другое основание, равны;

3) перпендикуляр, опущенный из точки пересечения продолжения боковых сторон на основания, делит основания трапеции пополам».

Сформулируем предложения, обратные данным свойствам:

1°) если в трапеции углы при одном и том же основании равны, то она является равнобокой;

2°) если в трапеции высоты равны, то она является равнобокой;

3°) если в трапеции перпендикуляр, опущенный из точки пересечения продолжений боковых сторон на основания, делит их пополам, то она является равнобокой.

Если сопоставить умозаключения 1—3 и 1°—3°, то можно заметить, что по свойствам понятия можно судить о его признаках. Для этого поступают следующим образом. Чтобы из свойства понятия получить признак этого понятия, надо построить предложение, обратное свойству, и проверить его истинность. Если полученное предложение ложно, то оно не может являться признаком. Так, в нашем примере умозаключения 1° и 3° являются признаками равнобедренной трапеции, а умозаключение 2° признаком не является.

В школьном курсе математики формулируются и доказываются теоремы, имеющие различный вид: в одних теоремах из одного условия вытекает одно заключение, в других — из одного условия вытекает несколько заключений, в третьих — из нескольких условий вытекает одно заключение и т. д.

Но в любом случае теорема состоит из трех частей:

1) разъяснительная часть, где описывается множество объектов, о которых идет речь в этой теореме;

2) условие теоремы, т. е. некоторый предикат заданный на множестве ;

3) заключение теоремы — некоторый предикат заданный на том же множестве .

В символах математической логики теорема может быть записана следующим образом: где

M — разъяснительная часть теоремы;

А(х) — условие теоремы; В(х) — заключение теоремы.

Часто в литературе используется такая терминология:

тезис— доказываемое утверждение;

аргументы(основания доказательства) — используемые в доказательстве уже известные утверждения, из которых обязательно следует истинность доказываемого тезиса;

демонстрация — последовательность расположения аргументов и выводов, образующих цепь умозаключений.

При доказательстве тезис должен удовлетворять следующим требованиям: быть ясным и точно определенным; оставаться тождественным, т. е. одним и тем же, на протяжении всего доказательства; не должен содержать в себе логического противоречия; не должен находиться в логическом противоречии с суждениями по данному вопросу, высказанными ранее; определять собой ход доказательства так, чтобы то, что в результате будет доказано, было бы именно тем, что требовалось доказать.

Требования к аргументам доказательства таковы: они должны быть истинными предложениями данной теории; быть достаточным основанием для доказываемого предложения; быть предложением, истинность которого доказана самостоятельно, независимо от доказываемого предложения; из совокупности суждений, составляющих аргументы, обязательно должна следовать истинность тезисов.

Разберем структуру на примере теоремы из курса геометрии 8 класса : «Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы».

Данную теорему после выбора обозначений можно записать в такой форме: ( ABC, ( А=∠ => ( = .

Разъяснительная часть теоремы выделяется из условия и заключения теоремы путем установления природы объектов и их множеств, на которых рассматриваются условие и заключение, и в данном случае она состоит в том, что рассматриваются любые пары треугольников.

А=∠ — условие теоремы; = — заключение теоремы.

Абсолютное большинство теорем ( 60%) в школьном курсе геометрии в символах математической логики может быть записано следующим образом: ( M) (А(х) В(х)).

Предикаты А(х) и В(х) входящие в теорему, могут иметь сложную структуру, и отсюда возникают теоремы различной логической конструкции. Приведем пример: «В ромбе диагонали перпендикулярны друг другу и делят углы при вершинах ромба пополам». Эта теорема символически может быть записана так: ( M) (А(х) (х) (х)). где М — множество четырехугольников; — предикат «четырехугольник является ромбом»; — предикат «в четырехугольнике диагонали перпендикулярны»; — предикат «в четырехугольнике диагонали делят углы при вершинах пополам».

Помимо теорем вида в математике встречаются и теоремы другого вида.

Пример 1. .

Знак показывает, что это соотношение является тождеством. Эта теорема имеет следующую форму: — некоторый предикат, записанный в виде равенства).

Пример 2. Теорема существования может быть записана в такой форме: ( M) ( y) (А(х, у)).

Примерами теорем существования могут служить следующие теоремы из школьного курса геометрии 7—11 классов:

а) через любую точку проходит прямая, перпендикулярная к данной прямой, и притом только одна;

б) около любого треугольника можно описать окружность, и притом только одну;

в) через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

Можно еще указать такие формализованные структуры теорем:

1) ( M) ( (x) В(х));

2) ( M) (А(х) (х) (х));

3) ( M) (А(х) (х) (х));

4) ( M) ( (x) В(х));

5) ( M) (A(x) (C(x) ⇒ D(x));

6) ( M) ((C(x) D(x)) B(x));

7) ( M) ( y A(x, y) B(x, у));

8) ( M) ( y A(x, y) B(x, у)) — теорема существования и единственности.

С любой теоремой обычно связаны еще три теоремы. Приведем все четыре вида теорем:

1) ( M) (А(х) В(х)) — прямая теорема;

2) ( M) (В(х) А(х)) — обратная теорема;

3) ( M) ( ) — противоположная теорема;

4) ( M) ( ) — теорема, обратная противоположной (контрапозитивная).

Рассмотрим все эти виды теорем на примерах.

Пример 1.

1) Если четырехугольник — параллелограмм, то диагонали его, пересекаясь, делятся пополам. (Истинно.)

2) Если в четырехугольнике диагонали, пересекаясь, делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм. (Истинно.)

3) Если четырехугольник не параллелограмм, то его диагонали, пересекаясь, не делятся пополам. (Истинно.)

4) Если в четырехугольнике диагонали, пересекаясь, не делятся пополам, то такой четырехугольник не параллелограмм. (Истинно.)

Пример 2.

1) Если углы вертикальные, то они равны. (Истинно.)

Рис. 1

2) Если углы равны, то они вертикальные. (Ложно.)

3) Если углы не вертикальные, то они не равны. (Ложно.)

4) Если углы не равны, то они не вертикальные. (Истинно.)

Между прямой, обратной, противоположной и контрапози- тивной теоремами существует тесная связь, которую символически можно выразить так, как показано на рисунке 1.

Прямая и обратная противоположной теоремы эквивалентны, т. е. они одновременно истинны или ложны.

Обратная и противоположная теоремы эквивалентны, т. е. они одновременно истинны или ложны.

Такая связь между теоремами показывает нецелесообразность изучения всех четырех теорем; достаточно установить истинность или ложность какой-либо одной логически неравносильной пары теорем, так как истинность или ложность одной пары влечет за собой истинность или ложность другой пары теорем. В связи с этим в любом курсе математики встречаются лишь прямая и обратная теоремы.

Обращаем внимание на тот факт, что если прямая и обратная теоремы верны, то можно записать их в виде одной, употребляя словосочетание «тогда и только тогда» или «в том и только в том случае».

Приведем примеры.

Прямая теорема: «Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны». (Теорема верна.)

Обратная теорема: «Если прямые параллельны, то внутренние накрест лежащие углы равны». (Теорема верна.)

Эти две теоремы можно сформулировать в одной из следующих форм:

а) Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда накрест лежащие углы равны.

б) Накрест лежащие углы равны тогда и только тогда, когда прямые параллельны.

в) Две прямые параллельны в том и только в том случае, если накрест лежащие углы равны.

г) Накрест лежащие углы равны в том и только в том случае, если прямые параллельны.

В качестве примера может служить теорема Пифагора, которая в некоторых курсах геометрии формулируется так: «Сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны тогда и только тогда, когда треугольник прямоугольный». В этой формулировке содержится, по существу, две теоремы:

а) Если треугольник прямоугольный, то сумма квадратов двух его катетов равна квадрату гипотенузы.

б) Если в треугольнике сумма квадратов двух сторон равна квадрату третьей стороны, то треугольник прямоугольный.

Заметим, что если условие прямой теоремы сложное (состоит из нескольких частных условий), то можно сформулировать для данной теоремы несколько обратных. В общем виде это выглядит так. Если прямая теорема имеет, например, вид: «Если А, В и С, то D», то обратными ей являются такие теоремы:

— если D, то А, В и С;

— если А и D, то В и С;

— если В и D, то А и С;

— если D, В и С, то А;

— если A, D и С, то В и т. д.

Приведем пример, рассмотрев такую прямую теорему:

«Если треугольник ABC равнобедренный и BD — его медиана, то она является и высотой».

Обратными этой теореме будут, например, такие теоремы:

— если треугольник ABC равнобедренный и BD его высота, то она является и медианой;

— если в треугольнике ABC отрезок BD является высотой и медианой, то этот треугольник равнобедренный.