Виды треугольников и свойства и противопоказания
Понятие треугольника
Вспомним следующую аксиому для такого основного понятия геометрии, как прямая.
Аксиома 1: Можно найти как минимум три точки, которые не будут лежать на одной и той же прямой.
Выберем на плоскости три произвольные точки, которые будут удовлетворять условию аксиомы 1. Соединим эти точки между собой отрезками. Тогда
Определение 1
Треугольником будем называть такую геометрическую фигуру, которая состоит из трех точек, не имеющих общей прямой, соединенных отрезками.
Определение 2
Точки в рамках определения 1 называются вершинами треугольника.
Определение 3
Отрезки в рамках определения 1 называются сторонами треугольника.
Треугольник будем обозначать тремя точками его вершин (рис. 1)
Виды треугольников
Треугольники можно разделять на различные виды по углам и по сторонам треугольника. Рассмотрим для начала виды треугольников в различии от их углов.
Определение 4
Треугольник будем называть остроугольным, если все углы в нем менее $90^0$.
Определение 5
Треугольник будем называть тупоугольным, если один из углов в нем более $90^0$.
Определение 6
Треугольник будем называть прямоугольным, если один из углов в нем равен $90^0$.
Все эти виды изображены на рисунке 2.
По сторонам треугольники разделяются на разносторонние, равнобедренные и равносторонние.
Определение 7
Треугольник будем называть равнобедренным, если две его стороны будут равны между собой.
Определение 8
Треугольник будем называть равносторонним, если три его стороны будут равны между собой.
Все эти виды треугольников изображены на рисунке 3.
Свойства треугольников
Введем теперь некоторые свойства треугольников в виде теорем. В данной статье доказательства их мы рассматривать не будем.
Вначале приведем теоремы, которые относятся ко всем видам треугольников. Но для них нам будут необходимы еще несколько понятий.
Определение 9
Медианой будем называть отрезок, который соединяет вершину с серединой противоположной стороны.
Определение 10
Биссектрисой будем называть луч, который проведен из вершины так, что делит угол в этой вершине на две равные части.
Определение 11
Высотой будем называть отрезок, который проведен из вершины так, что падает на противоположную сторону под прямым углом.
Теорема 1
Все три медианы в треугольнике пересекаются в единственной точке, которая будет называться центроидом треугольника.
Теорема 2
Все три биссектрисы в треугольнике пересекаются в единственной точке, которая будет называться инцентром треугольника.
Теорема 3
Все три высоты в треугольнике пересекаются в единственной точке, которая будет называться ортоцентром треугольника.
Следующие две теоремы рассматривают свойства для равнобедренных треугольников.
Теорема 4
Углы при основании равнобедренного треугольника будут равными.
Теорема 5
Высота, медиана и биссектриса в равнобедренном треугольнике являются одной и той же прямой.
Замечание 1
Отметим, что теоремы, относящиеся к равнобедренным треугольникам также справедливы и для равносторонних треугольников.
Пример задачи
Пример 1
Пусть дан треугольник $ABC$. Доказать, что он будет равнобедренным в условиях рисунка 5.
Доказательство.
По условию задачи угол 1 равняется углу 2, а сторона $BD$ равняется стороне $CD$. Так как у треугольников $ADB$ и $ADC$ сторона $AD$ является общей, то треугольники $ADB$ и $ADC$ будут равняться по первому признаку. Но тогда и стороны $AB$ и $AC$ также равны между собой. Следовательно, данный треугольник будет равнобедренным.
Источник
Определение. Треугольник – фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки – его сторонами.
Типы треугольников
По величине углов
Остроугольный треугольник – все углы треугольника острые.
Тупоугольный треугольник – один из углов треугольника тупой (больше 90°).
Прямоугольный треугольник – один из углов треугольника прямой (равен 90°).
По числу равных сторон
Разносторонний треугольник – все три стороны не равны.
Равнобедренный треугольник – две стороны равны.
Равносторонним треугольник или правильный треугольник – все три стороны равны.
Вершины углы и стороны треугольника
Свойства углов и сторон треугольника
Сумма углов треугольника равна 180°:
α + β + γ = 180°
В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:
если α > β, тогда a > b
если α = β, тогда a = b
Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:
a + b > c
b + c > a
c + a > b
Теорема синусов
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
| a | = | b | = | c | = 2R |
| sin α | sin β | sin γ |
Теорема косинусов
Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
a2 = b2 + c2 – 2bc·cos α
b2 = a2 + c2 – 2ac·cos β
c2 = a2 + b2 – 2ab·cos γ
Теорема о проекциях
Для остроугольного треугольника:
a = b cos γ + c cos β
b = a cos γ + c cos α
c = a cos β + b cos α
Формулы для вычисления длин сторон треугольника
Формулы сторон через медианы
a = 23√2(mb2 + mc2) – ma2
b = 23√2(ma2 + mc2) – mb2
c = 23√2(ma2 + mb2) – mc2
Медианы треугольника
Определение. Медиана треугольника ― отрезок внутри треугольника, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Свойства медиан треугольника:
Медианы треугольника пересекаются в одной точке. (Точка пересечения медиан называется центроидом)
В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)
Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части
S∆ABD = S∆ACD
S∆BEA = S∆BEC
S∆CBF = S∆CAF
Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
S∆AOF = S∆AOE = S∆BOF = S∆BOD = S∆COD = S∆COE
Из векторов, образующих медианы, можно составить треугольник.
Формулы медиан треугольника
Формулы медиан треугольника через стороны
ma = 12√2b2+2c2-a2
mb = 12√2a2+2c2-b2
mc = 12√2a2+2b2-c2
Биссектрисы треугольника
Определение. Биссектриса угла — луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла.
Свойства биссектрис треугольника:
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от трех сторон треугольника, – центре вписанной окружности.
Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника
Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.
Угол между lc и lc’ = 90°
Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный.
Формулы биссектрис треугольника
Формулы биссектрис треугольника через стороны:
la = 2√bcp(p – a)b + c
lb = 2√acp(p – b)a + c
lc = 2√abp(p – c)a + b
где p = a + b + c2 – полупериметр треугольника
Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:
la = 2bc cos α2b + c
lb = 2ac cos β2a + c
lc = 2ab cos γ2a + b
Высоты треугольника
Определение. Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую содержащую противоположную сторону.
В зависимости от типа треугольника высота может содержаться
- внутри треугольника – для остроугольного треугольника;
- совпадать с его стороной – для катета прямоугольного треугольника;
- проходить вне треугольника – для острых углов тупоугольного треугольника.
Свойства высот треугольника
Высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.
Если в треугольнике две высоты равны, то треугольник — равнобедренный.
ha:hb:hc =
1a
:
1b
:
1c
= (bc):(ac):(ab)
Формулы высот треугольника
Формулы высот треугольника через сторону и угол:
ha = b sin γ = c sin β
hb = c sin α = a sin γ
hc = a sin β = b sin α
Формулы высот треугольника через сторону и площадь:
ha = 2Sa
hb = 2Sb
hc = 2Sc
Формулы высот треугольника через две стороны и радиус описанной окружности:
ha = bc2R
hb = ac2R
hc = ab2R
Окружность вписанная в треугольник
Определение. Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трех его сторон.
Свойства окружности вписанной в треугольник
Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника.
В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну.
Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник
Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру:
r = Sp
Радиус вписанной в треугольник окружности через три стороны:
r = (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)4(a + b + c)
Радиус вписанной в треугольник окружности через три высоты:
1r = 1ha + 1hb + 1hc
Окружность описанная вокруг треугольника
Определение. Окружность называется описанной вокруг треугольника, если она содержит все вершины треугльника.
Свойства окружности описанной вокруг треугольника
Центр описанной вокруг треугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к его сторонам.
Вокруг любого треугольника можно описать окружность, и только одну.
Свойства углов
Центр описанной окружности лежит внутри остроугольного треугольника, снаружи тупоугольнго треугольника, на середине гипотенузы прямоугольного треугольника.
Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
Радиус описанной окружности через три стороны и площадь:
R = abc4S
Радиус описанной окружности через площадь и три угла:
R = S2 sin α sin β sin γ
Радиус описанной окружности через сторону и противоположный угол (теорема синусов):
R = a2 sin α = b2 sin β = c2 sin γ
Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
Если d — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей, то.
d2 = R2 – 2Rr
= 4 sin
α2
sin
β2
sin
γ2
= cos α + cos β + cos γ – 1
Средняя линия треугольника
Определение. Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.
Свойства средней линии треугольника
1. Любой треугольник имеет три средних линии
2.
Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.
MN = 12AC KN = 12AB KM = 12BC
MN || AC KN || AB KM || BC
3. Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному, площадь которого равна четвёрти площади исходного треугольника
S∆MBN = 14 S∆ABC
S∆MAK = 14 S∆ABC
S∆NCK = 14 S∆ABC
4. При пересечении всех трёх средних линий образуются 4 равных треугольника, подобных (даже гомотетичных) исходному с коэффициентом 1/2.
∆MBN ∼ ∆ABC
∆AMK ∼ ∆ABC
∆KNC ∼ ∆ABC
∆NKM ∼ ∆ABC
Признаки. Если отрезок параллелен одной из сторон треугольника и соединяет середину стороны треугольника с точкой, лежащей на другой стороне треугольника, то этот отрезок – средняя линия.
Периметр треугольника
Периметр треугольника ∆ABC равен сумме длин его сторон
P = a + b + c
Формулы площади треугольника
Формула площади треугольника по стороне и высоте
Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высотыS =
12
a · ha
S =12
b · hb
S =12
c · hc
Формула площади треугольника по трем сторонам
Формула Герона
S = √p(p – a)(p – b)(p – c)
где p =
a + b + c2
– полупериметр треугльника.
Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.S =
12
a · b · sin γ
S =12
b · c · sin α
S =12
a · c · sin β
Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.
Равенство треугольников
Определение. Если два треугольника АВС и А1В1С1 можно совместить наложением, то они равны.
Свойства. У равных треугольников равны и их
соответствующие элементы. (В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, против равных углов лежат равные стороны)
Признаки равенства треугольников
Теорема 1.
Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Теорема 2.
Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Теорема 3.
Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Подобие треугольников
Определение. Подобные треугольники – треугольники соответствующие углы которых равны, а сходственные стороны пропорциональны.
∆АВС ~ ∆MNK => α = α1, β = β1, γ = γ1 и ABMN = BCNK = ACMK = k,
где k – коэффициент подобия
Признаки подобия треугольников
Первый признак подобия треугольников
Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
Второй признак подобия треугольников
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.
Третий признак подобия треугольников
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы, между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
Свойства. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:
S∆АВСS∆MNK = k2
Источник
Треугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой (вершин треугольника) и трёх отрезков с концами в этих точках (сторон треугольника).
Углами (внутренними углами) треугольника называются три угла, каждый из которых образован тремя лучами, выходящими из вершин треугольника и проходящими через две другие вершины.
Внешним углом треугольника называется угол, смежный внутреннему углы треугольника.
Сумма углов треугольника равна 180°:
Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, и больше любого внутреннего, с ним не смежного:
Длина каждой стороны треугольника больше разности и меньше суммы длин двух других сторон:
В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол:
Средней линией треугольника называется отрезок, который соединяет середины двух его сторон.
Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна её половине:
Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны:
У равных треугольников все соответствующие элементы равны (стороны, углы, высоты, медианы, биссектрисы, средние линии и т.д.)
В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, а против равных углов – равные стороны.
Первый признак равенства треугольников.
Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны:
Второй признак равенства треугольников.
Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны:
Третий признак равенства треугольников.
Если три стороны одного треугольника равны соответственно трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны:
Подобными называются треугольники, у которых соответствующие стороны пропорциональны.
Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом подобия:
Два треугольника подобны, если:
- Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника.
- Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, и углы, образованные этими сторонами, равны.
- Стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого.
У подобных треугольников соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны:
Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Прямая, пересекающая две стороны треугольника, и параллельная третьей, отсекает треугольник, подобный данному:
Три средние линии треугольника делят его на четыре равных треугольника, подобные данному, с коэффициентом подобия ½:
Медианой треугольника называется отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, делящей медианы в отношении 2:1, считая от вершины:
- Медиана делит треугольник на два равновеликих (с равными площадями) треугольника.
- Три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников:
Длины медиан, проведённых к соответствующим сторонам треугольника, равны:
Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне.
Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке, находящейся внутри треугольника, равноудалённой от трёх его сторон, которая является центром окружности, вписанной в данный треугольник.
Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую углу сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам:
Длина биссектрисы угла А:
Биссектрисы внутреннего и смежного с ним внешнего угла перпендикулярны.
Биссектриса внешнего угла треугольника делит (внешне) противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.
BL – биссектриса угла В;
ВЕ – биссектриса внешнего угла СВК:
Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противолежащую сторону или на продолжение стороны.
Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника.
Высоты треугольника обратно пропорциональны его сторонам:
Длина высоты, проведённой к стороне а:
Серединный перпендикуляр – это прямая, которая проходит через середину стороны треугольника перпендикулярно к ней.
Три серединных перпендикуляра треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, описанной около данного треугольника.
Точка пересечения биссектрисы угла треугольника с серединным перпендикуляром противолежащей стороны лежит на окружности, описанной около данного треугольника.
Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.
Точки касания вписанной окружности сторон треугольника отсекают от его сторон три пары равных между собой отрезков:
Радиус вписанной в треугольник окружности – расстояние от её центра до сторон треугольника:
Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.
Радиус описанной окружности:
Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Равные стороны называют боковыми сторонами, а третью – основанием равнобедренного треугольника.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: ∠A = ∠C.
В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является и биссектрисой, и высотой: BL – медиана, биссектриса, высота.
Основные формулы для равнобедренного треугольника:
Треугольник у которого все стороны равны называется равносторонним или правильным треугольником.
Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают.
Все углы равностороннего треугольника равны:
∠A = ∠В = ∠C = 60°.
Каждая медиана равностороннего треугольника совпадает с биссектрисой и высотой, которые проведены из той же вершины:
Основные соотношения для элементов равностороннего треугольника
Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол.
Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами, противолежащая прямому углу – гипотенузой.
Прямоугольные треугольники равны если у них равны:
- два катета;
- катет и гипотенуза;
- катет и прилежащий острый угол;
- катет и противолежащий острый угол;
- гипотенуза и острый угол.
Подобие прямоугольных треугольников устанавливают по:
- одному острому углу;
- из пропорциональности двух катетов;
- из пропорциональности катета и гипотенузы.
Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше любого из катетов.
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе:
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе:
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему:
Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему:
Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу:
Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу:
Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, может быть определена через катеты и их проекции на гипотенузу:
Медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы:
Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит данный треугольник на два треугольника, подобные данному:
Площадь прямоугольного треугольника можно определить
через катеты:
через катет и острый угол:
через гипотенузу и острый угол:
Центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.
Радиус описанной окружности:
Радиус вписанной окружности:
Три окружности, каждая из которых касается одной стороны (снаружи) и продолжений двух других сторон треугольника, называются вневписанными.
Центр вневписанной окружности лежит не пересечении биссектрисы одного внутреннего угла и биссектрис внешних углов при двух других вершинах.
Так точка О1, центр одной из вневписанных окружностей ΔABC, лежит на пересечении биссектрисы ∠A треугольника ABC и биссектрис BО1 и CО1 внешних углов ΔABC при вершинах B и C.
Таким образом, шесть биссектрис треугольника – три внутренние и три внешние – пересекаются по три в четырёх точках – центрах вписанной и трёх вневписанных окружностей.
ΔABC является ортоцентричным в ΔО1О2О3 (точки A, B и C – основания высот в ΔО1О2О3).
В ΔО1О2О3 углы равны 90°–½A, 90°–½B, 90°–½C.
В ΔABC углы равны 180°–2О1, 180°–2О2, 180°–2О3.
Радиус окружности, описанной около ΔО1О2О3, равен 2R, где R – радиус окружности, описанной около ΔABC.
ΔABC имеет наименьший периметр среди всех треугольников, вписанных в ΔО1О2О3.
Если ra , rb , rс – радиусы вневписанных окружностей в ΔABC, то в ΔABC верно:
для r –
для R –
для S –
для самих ra , rb , rс –
Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними:
или
Следствие 1:
- если c2 > a2+b2, то угол γ – тупой (cos γ < 0);
- если c2 < a2+b2, то угол γ – острый (cos γ > 0);
- если c2 = a2+b2, то угол γ – прямой (cos γ = 0).
Следствие 2:
Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной окружности:
Теорема тангенсов (формула Региомонтана):
Формулы Мольвейде:
Источник